最簡單的題最需要心算能力

首先我們來看第一道題：

6的13次方 =?

這道題看起來最簡單，但恰恰是3道題中最需要心算能力的。乘方的速算可以有很多不同的方法，最笨蛋的就是直接心算。

直接心算這個(gè)方法很笨拙，先計(jì)算 6的2次方得到36，再計(jì)算 6的3次方 = 36×6 = 216，接著計(jì)算 6的4 次方= 216×6 = 1296，以此類推，直到計(jì)算出6的13次方為止。雖然笨，卻直觀。它更適合位數(shù)較少的冪計(jì)算，并且在冪底為個(gè)位數(shù)的時(shí)候，不斷心算乘法對記憶存儲數(shù)據(jù)要求較小。當(dāng)冪底超過個(gè)位數(shù)時(shí)，這個(gè)方法就不太合適了。

因此，我們來介紹一個(gè)簡單易上手的計(jì)算方法。

首先第一步，把 613 拆開計(jì)算

6的13次方 = ( (216)2)2×6

6的3次方是個(gè)口算級別的題，對數(shù)字敏感的人可以脫口而出216。于是題目接下來變?yōu)?/p>

(2162)2×6 =?

計(jì)算 2162 比計(jì)算 63 要稍微難一些，但也還算簡單，利用 (a+b)2 =a2+2ab+b2 可以把這個(gè)計(jì)算簡化。

2162 = (200+16)×(200+16) = 40000+3200×2+256 = 46656

接下來是最困難的一步，是計(jì)算 466562，進(jìn)入五位數(shù)乘法的范疇，如果完全不靠紙筆記錄，那需要你具有一定的數(shù)字記憶與存儲能力。

首先還是利用公式進(jìn)行拆分，拆分的原則是拆分出的有效位數(shù)盡可能接近，比如把 46656 拆分成 4×104+6656 就不太合適，更好的拆分方式是 46×102+656。這樣在之后的計(jì)算中會略微容易一些。

466562 = (46000+656)×(46000+656) = 462×1000000+656×46×2×1000+6562

這步也很直接，這里分別展示一下每個(gè)部分的速算方式

462 = (45+1)×(45+1) = 452+90+1

注意，(10x+5)2有一個(gè)非常好用的速算公式，我們把這個(gè)式子拆開看一下：

(10x+5)2 = x2×102+10x×5×2+52 = (x2+x)×102+52 = 100x(x+1)+25

記住這個(gè)公式，對速算很有幫助，之后我們也會反復(fù)利用這個(gè)公式來進(jìn)行計(jì)算。

452 = 4×(4+1)×100+25 = 2025

462= 2025+91 = 2116

第二部分的速算方法，是不斷地在計(jì)算過程中拆出 10 的冪次數(shù)，具體過程如下(這并不是唯一的方法，也許你有更熟悉的方法來加快計(jì)算)：

656×46×2 = 656×92 = 656×(100-10+2) = 65600-6560+1312 = 60000-960+1312 = 60000+312+40 = 60352

最后計(jì)算6562，同樣利用剛剛介紹的公式：

6562 = (650+6)2 = 6502+650×6×2+36 = (6×(6+1)×100+25)×100+1300×6+36 = 422500+7800+36 = 430336

得到這幾部分的值之后，繼續(xù)計(jì)算加法就可以得到：

466562 = 2116000000+60352000+430336 = 2176782336

最后一步?jīng)]什么很特別的方法，還是直接心算比較方便：

2176782336×6 = 13060694016

看起來過程很多很繁瑣對不對，但是其實(shí)當(dāng)中的奧義只有兩條：

反復(fù)對復(fù)雜的數(shù)字進(jìn)行以0結(jié)尾或者以5結(jié)尾的拆分;

利用各類公式來簡化計(jì)算。

雖然方法好掌握，但你現(xiàn)在可能還達(dá)不到一下子就算出來 613 是多少的地步。利用這些方法，輕松計(jì)算出 65、66、67 問題不大。經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，不說達(dá)到周瑋的速度，超過大多數(shù)人的筆算速度與準(zhǔn)確度并非難事。

需要注意的是，速算方法并沒有最優(yōu)一說，挑選自己記得住的與擅長的計(jì)算方式，才是最好的。

上述方法是計(jì)算精確值的，如果只是估計(jì)個(gè)大概，那又會簡單得多。

lg(6) = lg(2)+lg(3) = 0.301+0.477 = 0.778

lg(6)×13 = 0.778×13 =10.1

計(jì)算1010.1約等于1010 = 10000000000

這個(gè)誤差為 30%，不過數(shù)量級上是準(zhǔn)確的。如果需要更加準(zhǔn)確的估算，則是計(jì)算 1010.1 = 1010×100.1，假如你恰好記得 100.1 = 1.26 ，那最后的估算值就是 12600000000。誤差一下子縮小為 3.5%，已經(jīng)算比較準(zhǔn)確的估算了。

如果你對對數(shù)不太熟悉的話，還有另一種估算法。首先，我們把 63近似為 200，然后重復(fù)上面的步驟：

(63)2=4 0000

((63)2)2=16 0000 0000

6×((63)2)2=96 0000 0000≈100 0000 0000

在需要計(jì)算數(shù)量級的時(shí)候，這個(gè)精度是夠的。

在進(jìn)行這種大數(shù)計(jì)算的時(shí)候，可以使用科學(xué)計(jì)數(shù)法的e代替末尾的一系列0。比如，最后一行可以讀成 96e8≈1e10。事實(shí)上，這可以看作是對對數(shù)的一種應(yīng)用，但是在腦子里計(jì)算的時(shí)候會簡單很多。

如果對這個(gè)精度無法接受或想要確認(rèn)誤差的話，可以從誤差來源判斷：主要的誤差來源于把 216 近似成 200 的時(shí)候帶來了 +8% 的誤差，然后這個(gè) +8% 的誤差被平方了兩次，所以誤差變成了 8%×4 = 32%。因此進(jìn)行誤差修正后，就會得到 1.32×1010 的結(jié)果。你大可以對最后一步，把 96 近似成 100 帶來的 4% 誤差，也納入考慮，那樣就會得到 1.28×1010 的結(jié)果。無論是哪種結(jié)果，和準(zhǔn)確值的實(shí)際誤差都是 2% 左右。

看似嚇人的開高次方，其實(shí)沒有那么可怕

再來看第二道題：

實(shí)際上，對于一個(gè)普通人，不使用計(jì)算器的情況下，完全以手動方式求一個(gè)很大數(shù)字開n次方根，并不需要高深的數(shù)學(xué)，只需要依靠加減乘除和一些簡單的對數(shù)計(jì)算法則就可以。

依然以周瑋的這道題為例，首先

1391237759766345數(shù)字太大，不妨近似一下：

根據(jù) 10<13.9<24，可以估算出lg(13.9)介于1到1.2之間。

所以 13.9 的 14 次方根的對數(shù)值，應(yīng)該是比0.1小一些(實(shí)際上是在0.07-0.08左右)。于是，

的對數(shù)，就應(yīng)該比1.1小一些。

如果利用之前寫過的 100.1≈1.26，可以得到

< 101.1 ≈ 12.6。準(zhǔn)確的值肯定小于這個(gè)數(shù)字。

另外一種做法是通過試乘法計(jì)算。由于這個(gè)題目給的數(shù)據(jù)范圍，我們幾乎一定可以把答案的范圍限制在 10-13 左右。所以如果只需要一位精度，那么我們可以試著去估算 1.1，1.2，1.3 這三個(gè)數(shù)的 14 次方，并和給定值進(jìn)行比較。如果需要更高位精度的話，這種做法就略顯無力了。

至于節(jié)目中第3道題，也是類似。

首先將整個(gè)算式轉(zhuǎn)化成對數(shù)，首先提出一個(gè)10，把式子變成：

這時(shí)需要估算lg(3.2)，即：

lg(3.2) = lg(32*0.1)=lg(32)+lg0.1=lg(2^5)+(-1) = lg(2)×5-1

于是，上面的這個(gè)式子就變?yōu)椋?/p>

lg(2)×7+(lg(2)×5-1)/13+1 = 0.3010×7+(0.3010×5-1)/13+1 = 3.147

最后計(jì)算103.147 = 1000×100.147。后面這部分可以粗略估算為0.147是lg(2)的一半，所以最后的結(jié)果是

，再乘以1000等于1400左右。

沒有計(jì)算器，沒有對數(shù)表，也沒有超強(qiáng)的大腦，只要對于精確度要求不是很苛刻，徒手計(jì)算出一個(gè)巨大數(shù)字的次方根完全可能。并且，這樣的方法不止一種。即便如此，想要快速報(bào)出答案，一些必要的練習(xí)還是免不了的。只可惜，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究幾乎不需要這種速算能力了。

心算能力在現(xiàn)在這個(gè)設(shè)備與技術(shù)齊全的時(shí)代來說，更為主要的用處是對構(gòu)造出的公式進(jìn)行初步的估算和簡單的合理性驗(yàn)證。如果需要更高的精度，使用計(jì)算機(jī)更簡單。

最后講一個(gè)小故事

兩列火車相隔 200 公里，各以每小時(shí) 50 千米的速度相向而行。一只蒼蠅從其中一列前端出發(fā)，以每小時(shí) 75 千米的速度，在兩列車之間來來回回飛個(gè)不停，問：直到兩車相撞，蒼蠅飛過的總距離是多少?

這當(dāng)然是一道級數(shù)求和的題。但它有另一個(gè)巧妙的解答：既然兩車相隔200千米，每小時(shí)各行駛 50 千米，它們要過 2 小時(shí)才相撞。所以，蒼蠅飛了2小時(shí)，因此它必定飛了150千米。你看，換個(gè)方法，萬事大吉。

傳說在一次晚宴上，一個(gè)年輕人碰到馮·諾依曼，也問了他這道題。馮·諾依曼沉吟幾秒后回答：“哦，當(dāng)然是150千米。”年輕人被小小震了一下，心想馮老師果然大牛，于是拍起了馬屁。“啊，馮老師果然高明，一下就想到了時(shí)間乘以蒼蠅速度的方法。”馮·諾依曼答道：“什么?我求了級數(shù)之和。”